变分自编码器

2025-03-28

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由于我个人是做自监督相关的，故本文仅介绍自监督(self-supervised learning,SSL)方面VAE提供了什么。 ~~其实在自监督中我们仅仅用到了VAE，没有用到decoder~~

1. 背景

在自监督学习中，能否利用无标注数据学习数据的隐式表示是很重要的，隐式数据表示的好坏直接决定了后续下游任务表现的上限。

2. VAE提供了什么

变分自编码器（VAE）在自监督学习中的应用主要通过利用无标注数据学习数据的隐式表示，结合生成模型与自监督任务的优势。VAE的编码器将输入数据压缩为低维隐变量分布（通常假设为高斯分布），通过解码器重构数据。隐空间（latent space）的分布特性使其适合作为下游任务的通用特征。

VAE是如何将输入压缩到隐空间的呢？或者说它是怎样建模了一个足够好的隐空间？

对于通常的AutoEncoder，它构造了映射：$f:X \to Z$ ，表示输入 $X$ 经过网络 $f$ 压缩为 $Z$ 。但是对于一张普通的1080p RGB 图片来讲，所有可能性高达$1920\times1080\times3\times2^8$。传统网络擅长构建一对一映射，在这里就会“水土不服”。那么，有什么办法解决这个问题吗？

VAE选择了对隐空间进行建模，假设后验 $p(z|x)$ 服从高斯分布。

但是这带来了问题：

边际似然难以处理：
边际似然$p_{\boldsymbol{\theta}}(\mathbf{x}) = \int p_{\boldsymbol{\theta}}(\mathbf{z})p_{\boldsymbol{\theta}}(\mathbf{x}|\mathbf{z})d\mathbf{z}$的积分难以处理，因此我们无法评估或区分边际似然。
真实后验密度难以处理：
真实后验密度
$$p_{\boldsymbol{\theta}}(\mathbf{z}|\mathbf{x}) = \frac{p_{\boldsymbol{\theta}}(\mathbf{x}|\mathbf{z})p_{\boldsymbol{\theta}}(\mathbf{z})}{p_{\boldsymbol{\theta}}(\mathbf{x})}$$
难以处理，因此不能使用期望最大算法。

VAE 通过编码器神经网络实现数据压缩：

输入映射
输入数据 $\mathbf{x}$如图像）通过编码器网络 $q_\phi(\mathbf{z}|\mathbf{x})$ 映射到隐变量的概率分布参数（通常是高斯分布）：
$$ \mu_\phi(\mathbf{x}), \sigma_\phi(\mathbf{x}) = \text{Encoder}_\phi(\mathbf{x}) $$
- $\mu$：隐变量分布的均值向量
- $\sigma$：标准差向量（决定不确定性）
概率采样（重参数化技巧）
为避免随机采样不可导，使用重参数化技巧生成隐变量 $\mathbf{z}$：
$$ \mathbf{z} = \mu_\phi(\mathbf{x}) + \sigma_\phi(\mathbf{x}) \odot \epsilon, \quad \epsilon \sim \mathcal{N}(0, \mathbf{I}) $$
- $\odot$：逐元素乘法
- $\epsilon$：从标准正态分布采样的噪声
  意义：将随机性分离为可导运算，使梯度可回传。

3. VAE 的数学推导

VAE 将输入数据压缩到隐空间并建模高质量隐空间的过程，本质是通过概率编码器 + 隐变量分布约束 + 生成式重构的联合优化实现的。

隐空间的结构化：KL散度的正则化作用

VAE 的核心创新是通过 KL 散度约束使隐空间具备良好结构：

在 VAE 中，我们的目标是最大化边际似然 $\log p_\theta(\mathbf{x})$，但由于 $p_\theta(\mathbf{x}) = \int p_\theta(\mathbf{x},\mathbf{z})\,d\mathbf{z}$ 难以直接计算，我们引入近似后验 $q_\phi(\mathbf{z}|\mathbf{x})$ 并利用 Jensen 不等式得到证据下界（ELBO）：

从对数似然到 ELBO
$$ \log p_\theta(\mathbf{x}) = \log \int p_\theta(\mathbf{x},\mathbf{z})\,d\mathbf{z} = \log \int q_\phi(\mathbf{z}|\mathbf{x})\frac{p_\theta(\mathbf{x},\mathbf{z})}{q_\phi(\mathbf{z}|\mathbf{x})}\,d\mathbf{z} $$
应用 Jensen 不等式（$\log\mathbb{E}[u]\ge \mathbb{E}[\log u]$）得到：
$$ \log p_\theta(\mathbf{x}) \ge \mathbb{E}_{q_\phi(\mathbf{z}|\mathbf{x})}\Bigl[\log p_\theta(\mathbf{x},\mathbf{z}) - \log q_\phi(\mathbf{z}|\mathbf{x})\Bigr] \equiv \mathrm{ELBO}(\mathbf{x}) $$
ELBO 分解
$$ \mathrm{ELBO}(\mathbf{x}) = \mathbb{E}_{q_\phi(\mathbf{z}|\mathbf{x})}[\log p_\theta(\mathbf{x}|\mathbf{z})] - D_{\mathrm{KL}}\bigl(q_\phi(\mathbf{z}|\mathbf{x})\parallel p(\mathbf{z})\bigr) $$
- 第一项：重构对数似然，衡量 $\mathbf{z}$ 重建 $\mathbf{x}$ 的能力。
- 第二项：KL 散度，约束后验靠近先验 $p(\mathbf{z})$（通常为 $\mathcal{N}(0,I)$）。
重参数化技巧
对于高斯后验 $q_\phi(\mathbf{z}|\mathbf{x})=\mathcal{N}(\mathbf{z};\mu_\phi(\mathbf{x}),\sigma^2_\phi(\mathbf{x}))$，令
$$ \mathbf{z} = \mu_\phi(\mathbf{x}) + \sigma_\phi(\mathbf{x}) \odot \boldsymbol\epsilon,\quad\boldsymbol\epsilon\sim\mathcal{N}(0,I) $$
将随机性隔离到 $\boldsymbol\epsilon$，保证对 $(\mu,\sigma)$ 可导，从而可做反向传播。
KL 散度的封闭解
对两个 $d$ 维正态分布：
$$ D_{\mathrm{KL}}\bigl(\mathcal{N}(\mu,\sigma^2)\|\mathcal{N}(0,1)\bigr)= \frac{1}{2}\sum_{i=1}^d\bigl(\mu_i^2 +\sigma_i^2 - \log\sigma_i^2 - 1\bigr) $$
最终优化目标
最小化负 ELBO：
$$ \mathcal{L}_{\mathrm{VAE}}(\mathbf{x})= -\mathbb{E}_{q_\phi(\mathbf{z}|\mathbf{x})}[\log p_\theta(\mathbf{x}|\mathbf{z})]+ D_{\mathrm{KL}}\bigl(q_\phi(\mathbf{z}|\mathbf{x})\parallel p(\mathbf{z})\bigr) $$

解码器：从隐空间重建数据

解码器 $p_\theta(\mathbf{x}|\mathbf{z}) $ 将隐变$(\mathbf{z}$ 映射回数据空间：

生成过程
$$ \hat{\mathbf{x}} = \text{Decoder}_\theta(\mathbf{z}) $$
- 目标：最小化重建损失（如 MSE 或交叉熵）。
重建损失的双重角色
- 迫使 $\mathbf{z}$ 保留足够信息以精确重建输入。
- 与 KL 散度博弈：重构损失希望 $\mathbf{z}$ 包含更多信息，而 KL 散度希望 $\mathbf{z}$ 更接近简单先验分布。

4、隐空间“足够好”的关键设计

1. 连续性（Continuity）

机制：KL 散度强制隐变量分布覆盖整个标准正态空间，而非孤立点簇。
效果：隐空间中相邻点解码后语义相似（如人脸隐空间中微笑程度连续变化）。

2. 解耦性（Disentanglement）

机制：KL 散度隐式鼓励隐变量维度独立。显式方法如 $\beta$-VAE 进一步强化： $$ \mathcal{L}_{\beta\text{-VAE}} = \mathbb{E}[\log p(\mathbf{x}|\mathbf{z})] - \beta D_{\text{KL}}(q(\mathbf{z}|\mathbf{x}) \parallel p(\mathbf{z})) $$
效果：单个隐变量维度控制单一语义特征（如发型、光照）。

3. 鲁棒性（Robustness）

机制：概率采样使模型对输入噪声不敏感（方差 $\sigma$ 建模不确定性）。
效果：对遮挡或噪声数据仍能生成合理隐变量。

VAE 通过概率编码器建模隐变量分布，并利用 KL 散度约束将隐空间结构化，使其具备连续性、解耦性和鲁棒性。解码器的重建需求则确保隐变量保留足够信息。这种概率框架下的生成-推断平衡，使 VAE 的隐空间不仅是高效的数据压缩表示，更是可解释、可操控的语义空间，为自监督学习和生成任务奠定基础。