深度学习中的数学

数字

• $x$：标量
• $\mathbf{x}$：向量
• $\mathbf{X}$：矩阵
• $\mathsf{X}$：张量
• $\mathbf{I}$：单位矩阵
• $x_i$, $[\mathbf{x}]_i$：向量$\mathbf{x}$第$i$个元素
• $x_{ij}$, $[\mathbf{X}]_{ij}$：矩阵$\mathbf{X}$第$i$行第$j$列的元素

集合论

• $\mathcal{X}$: 集合
• $\mathbb{Z}$: 整数集合
• $\mathbb{R}$: 实数集合
• $\mathbb{R}^n$: $n$维实数向量集合
• $\mathbb{R}^{a \times b}$: 包含$a$行和$b$列的实数矩阵集合
• $\mathcal{A}\cup\mathcal{B}$: 集合$\mathcal{A}$和$\mathcal{B}$的并集
• $\mathcal{A}\cap\mathcal{B}$：集合$\mathcal{A}$和$\mathcal{B}$的交集
• $\mathcal{A}\setminus\mathcal{B}$：集合$\mathcal{A}$与集合$\mathcal{B}$相减，$\mathcal{B}$关于$\mathcal{A}$的相对补集

函数和运算符

• $f(\cdot)$：函数
• $\log(\cdot)$：自然对数
• $\exp(\cdot)$: 指数函数
• $\mathbf{1}_\mathcal{X}$: 指示函数
• $\mathbf{(\cdot)}^\top$: 向量或矩阵的转置
• $\mathbf{X}^{-1}$: 矩阵的逆
• $\odot$: 按元素相乘
• $[\cdot, \cdot]$：连结
• $\lvert \mathcal{X} \rvert$：集合的基数
• $\|\cdot\|_p$: ：$L_p$ 正则
• $\|\cdot\|$: $L_2$ 正则
• $\langle \mathbf{x}, \mathbf{y} \rangle$：向量$\mathbf{x}$和$\mathbf{y}$的点积
• $\sum$: 连加
• $\prod$: 连乘
• $\stackrel{\mathrm{def}}{=}$：定义

微积分

• $\frac{dy}{dx}$：$y$关于$x$的导数
• $\frac{\partial y}{\partial x}$：$y$关于$x$的偏导数
• $\nabla_{\mathbf{x}} y$：$y$关于$\mathbf{x}$的梯度
• $\int_a^b f(x) \;dx$: $f$在$a$到$b$区间上关于$x$的定积分
• $\int f(x) \;dx$: $f$关于$x$的不定积分

概率与信息论

• $P(\cdot)$：概率分布
• $z \sim P$: 随机变量$z$具有概率分布$P$
• $P(X \mid Y)$：$X\mid Y$的条件概率
• $p(x)$: 概率密度函数
• ${E}_{x} [f(x)]$: 函数$f$对$x$的数学期望
• $X \perp Y$: 随机变量$X$和$Y$是独立的
• $X \perp Y \mid Z$: 随机变量$X$和$Y$在给定随机变量$Z$的条件下是独立的
• $\mathrm{Var}(X)$: 随机变量$X$的方差
• $\sigma_X$: 随机变量$X$的标准差
• $\mathrm{Cov}(X, Y)$: 随机变量$X$和$Y$的协方差
• $\rho(X, Y)$: 随机变量$X$和$Y$的相关性
• $H(X)$: 随机变量$X$的熵
• $D_{\mathrm{KL}}(P\|Q)$: $P$和$Q$的KL-散度

复杂度

• $\mathcal{O}$：大O标记